按较宽泛的标准来说，笔者从事教育工作，有二十多年了。在笔者的FT中文网专栏“观海听涛”新近设立之际，笔者特此抛砖引玉，跟大家分享一下笔者对我们的数学教育、乃至整个教育体系的一些思考。
写这篇文章的一个触发点，是跟随笔者学习“高黎数学高等数学系列课程”的一位才12岁小朋友，前不久获得了北京市高中数学联赛的第一名。（应其母亲的要求，笔者这里就不提他的名字了，但了解数学竞赛圈的朋友，都应该知道他的名字。）从他在笔者课堂上的表现来说，的确是极其罕见的少年天才；而笔者想说的是，以他的天赋，他非常适合在数学的“丛林”里闯荡。
在一般公众的眼中，恐怕很难把数学的殿堂与貌似蛮荒的丛林世界联系起来。通常我们对“丛林法则”一词的理解，是指自然界中的“弱肉强食，适者生存”的规律，因此，我们常用“丛林”这个词来比喻社会中激烈的生存竞争。下面我们就来简单聊聊，数学的世界为什么是一个丛林。事实上，在我们的世界中还有另一个典型的丛林，我们以后有机会再聊，那就是金融市场。
为什么说数学的是一个丛林世界？从表面上看，做数学是人与客观世界（也就是各种数学问题）的斗争，然而，从稍微深一点的层次来看，在数学领域依然是人与人的竞争。这一点，在数学世界的各个层级都成立，无论是在中小学生的数学考试与竞赛层级，还是数学专业人士的研究层级。在数学考试与竞赛层级，这一点有非常直接而明显的体现，大家对此早已无比熟悉。但事实上，在专业层级，这一点也体现的淋漓尽致。
一个典型的例子，就是法国的著名数学家阿德里安-马里•勒让德(Adrien-Marie Legendre)。要知道，勒让德可不是什么名不见经传的小人物，其为柏林科学院奖金获得者，巴黎科学院院士与伦敦皇家学会会员。他一生中建立了许多重要的定理，尤其在数论和椭圆积分方面贡献良多。不过，尽管勒让德的贡献已经足以名垂史册，但他在二次互反律、最小二乘法以及椭圆积分等一些重要结果上，一次又一次的被更加才华横溢的后辈卡尔•弗里德里希•高斯(Carl Friedrich Gauss)、卡尔•雅可比(Carl Jacobi)和尼尔斯•亨里克•阿贝尔(Niels Henrik Abel)等人所超越。假如不是和这些后辈天才站在同一个舞台上，那么勒让德的光芒定将更加耀眼夺目。这就好比我们看的历史剧，很可能剧中一个不起眼的小配角，如果放到现实生活中，很可能都是权重一方的大人物一样。可现实是，强中更有强中手，数学不仅是一个丛林世界，而且在这个世界里，有猛将一人，就足以抗衡千军万马，数量再多，都抵消不了质量。
职业数学家的世界，竞争是非常激烈的，不是天赋超卓的人，不可能在这个丛林世界里生存。如果以培养职业数学家为目标，那么，我们今天的初等与中等数学教育，就显得严重的不合需要。即使我们把目标扩展到为需要广泛应用数学的学科培养高层次人才，我们今天的数学教育也依然存在巨大的改进空间。我们的学校教育以及考试体系，肯定是教育的最重要的方面；但这些方面涉及到国家的教育政策，我们的讨论并不会产生任何立竿见影的效果。因此，我们今天的讨论，重点在家庭教育层面，这也是我们大家可以现实把握的部分。
首先，笔者想强调的是，学数学要趁早。在这里，笔者所说的学数学，是指学习数学中比较高深的内容，包括中等数学中的一些比较精妙的思路与技巧，尤其是成体系的高等数学内容，具体而言就是数学分析与高等代数。数学学习是需要投入大量时间的，而这个时间，既包括直接花在数学学习上的时间，也包括那些看似没有用于数学学习的时间。很多数学问题，第一遍学习的时候可能并没有消化和掌握，但几天或者几周之后，就可能突然“顿悟”。这种顿悟往往需要时间与机缘。如果孩子之前学习了相关内容但没有真正的理解其精要，那么后续就存在这种顿悟的可能性；但如果孩子没有学习相关的内容，顿悟自然无从谈起。因此，学的早会带来竞争优势，这一点其实不需要多解释。需要补充说明的是，由于数学学习并不需要多少生活阅历的铺垫，因此，事实上不存在年龄太小无法很好的理解与掌握相关知识的问题。只要有充分的思考时间与做习题的量，年龄较小的孩子学好相对高级的数学内容，是完全没有问题的。而从数学史来看，很多著名数学家，在其幼年时期就已经学习了比较高深的数学内容，为他们日后在数学领域的建树打下了坚实的基础。
其次，笔者想说一点是，数学的学习，最重要的一点在于思考方式的提升。数学是一个由逻辑编织起来的严谨的大系统，严格的逻辑推理构成了数学的框架。不过，绝大部分鲜活而生动的数学知识与思想，则是与我们对日常生活的观察与认知密切相关，也就是我们对数学的“直觉”或者说“直观化”。有一种观点认为，我们对数与形等数学对象的“直觉”与思考方式，是一种源自“天生”的倾向，或者说来自于基因，持这种观点的代表人物是法国大数学家亨利•庞卡莱(Henri Poincaré)。我们想强调的是，不论是否相信基因决定论，我们在数学学习的过程中都要不断的提升我们对数学的本质、结构与具体结果(也就是一个个命题与定理)的认识，因为这就是数学学习本身，是提高我们的数学能力的关键要义。
再次，笔者想指出的是，要搞清自己的定位，分清是目标驱动型还是兴趣驱动型。所谓目标驱动，就是说，学习数学的动力，主要是来自于某个目标，比如说竞赛获奖或者大学的录取等等。而兴趣驱动型则不同，学习数学主要是靠对数学的热爱推动的。对于兴趣驱动型的数学学习，我们自然是绝对支持，百分之一百的鼓励，因为只要学习了，孩子就可以有收获，满足了自己对数学的喜爱，也开阔了眼界。对于目标驱动型的数学学习，我们则是有保留的支持，但依然鼓励，不过要控制好投入产出。我们干任何事情，都是有风险的，人生总需要拼搏与奋斗。学习数学，即使没有达到预定的目标，也应该可以平和的面对，毕竟我们还是学到了真正的知识。不过，有一点比较有意思，那就是家长对于自己孩子的学习的想法，和孩子自己往往存在差异，这一点，在目标驱动和兴趣驱动的区别上，有时候会体现得很明显。关于这个问题，我们可以以后再讨论。
最后，我们总结一下学习数学的关键三点：第一，要有足够的训练量，也就是做题量。学数学就是做数学，也就是做数学题，尤其是做那些深具启发意义的好题。第二，要不断的思考总结，提升自己的数学观点，构建自己的数学思维体系。第三，如果能有一个良好的学习环境，配备较好的学习资源，则孩子的学习将会事半功倍，这些包括切实可行的学习计划，完备的学习资料与老师高质量的指导。
（作者简介：美国罗切斯特大学数学博士，哈佛大学经济学博士，“高黎数学”创始人，清华大学恒隆房地产研究中心研究员、中国金融学会理事，北京雁栖湖应用数学研究院访问教授。原清华大学五道口金融学院副教授、美国联邦储备银行波士顿分行研究员、美国国家经济研究局研究助理。金涛教授也在微信公众号“高黎数学”、“金岩咨询”与“新世说”上撰写文章。本文仅代表作者观点。责任编辑邮箱：tao.feng@ftchinese.com）